Приложение F. Системы счисления

1. Введение

Двоичные числа

Внутри компьютеры используют двоичные числа, поскольку компьютеры так сделаны, что по своей природе они хранят и обрабатывают нули и единицы. Двоичная система счисления имеет два числа, 0 и 1. Число или символ хранятся как последовательности нулей и единиц. Каждый 0 или 1 называются битом (двоичной цифрой).

Десятичные числа

В нашей повседневной жизни мы используем десятичные числа. Когда мы в нашей программе записываем номер, такой как 20, он предполагается десятичным числом. Внутри компьютерное программное обеспечение используется для преобразования десятичных чисел в двоичные числа и наоборот.

Шестнадцатеричные числа

Мы пишем компьютерные программы используя десятичные числа. Тем не менее, для работы с операционной системой нам нужно опуститься до «машинного уровня», используя двоичные цифры. Двоичные числа имеют тенденцию быть очень длинными и громоздкими. Часто для их сокращения используются шестнадцатеричные числа, причем каждая шестнадцатеричная цифра представляет четыре двоичных цифры. Шестнадцатеричная система счисления имеет 16 цифр: 0-9 и A-F. Буквы A, B, C, D, E и F соответствуют десятичным числам 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Цифрами десятичной системы являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Десятичное число представлено последовательностью одной или нескольких из этих цифр. Значение, которое каждая цифра представляет, зависит от её положения, которая обозначает интегральную степень 10. Например, цифры 7, 4, 2 и 3 в десятичном числе 7423 представляют соответственно 7000, 400, 20 и 3, как показано ниже:

База, основание системы счисления

Система десятичных чисел имеет десять цифр, а значения позиции – интегральная степень 10. Мы говорим, что 10 является базой или основанием системы десятичных чисел. Аналогично, поскольку двоичная система счисления имеет две цифры, ее база равна 2, а так как система шестнадцатеричного числа имеет 16 цифр, ее база равна 16.

Если 1101 является двоичным числом, цифры 1, 1, 0 и 1 представляют 1 * 2³, 1 * 2², 0 * 2¹ и 1 * 2⁰ соответственно:

Если 7423 является шестнадцатеричным числом, цифры 7, 4, 2 и 3 представляют соответственно 7 * 16³, 4 * 16², 2 * 16¹ и 3 * 16⁰:

2. Конвертации между двоичными и десятичными числами

Двоичное в десятичное

Дано бинарное число b_nb_{n - 1}b_{n - 2} … b₂b₁b₀, десятичным эквивалентом является

Вот несколько примеров преобразования двоичных чисел в десятичные числа:

Десятичное в двоичное

Для преобразования десятичного числа d в двоичное число необходимо нейти биты b_n, b_{n - 1}, b_{n - 2}, …, b₂, b₁ и b₀ такие что:

Эти биты могут быть найдены последовательным делением d на 2, пока частное не будет равно 0. Остатками являются b0, b1, b2, c , bn - 2, bn - 1 и bn.

Например, десятичное число 123 это 1111011 в двоичной системе счисления. Конвертация делается следующим образом:

Подсказка: в программе Windows Calculator вы можете перейти в режим PROGRAMMER, который позволяет выполнять преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Для запуска программы, нажмите кнопку Win и начните набирать Calculator.

3. Конвертация между шестнадцатеричными и десятичными цифрами

Шестнадцатеричное в десятичное

Данному шестнадцатеричному числу h_nh_{n - 1}h_{n - 2} … h₂h₁h₀ десятеричным эквивалентом является

Вот несколько примеров преобразования шестнадцатеричных чисел в десятичные числа:

Десятичное в шестнадцатеричное

Для конвертации десятичного числа d в шестнадцатеричное число нужно найти шестнадцатеричные цифры h_n, h_{n - 1}, h_{n - 2}, … , h₂, h₁ и h₀ таким образом:

Эти числа могут быть найдены последовательным делением d на 16 пока частное не равно 0. Остатками являются h₀, h₁, h₂, … , h_{n - 2}, h_{n - 1} и h_n.

Например, десятичное число 123 в шестнадцатеричной системе счисления это 7B. Преобразование сделано следующим образом:

4. Конвертации между двоичными и шестнадцатеричными числами

Шестнадцатеричное в двоичное

Для преобразования шестнадцатеричного в двоичное число, просто преобразуйте каждую цифру в шестнадцатеричном числе в четырёхзначный двоичный номер, используя таблицу:

Шестнадцатеричное	Двоичное	Десятичное
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
A	1010	10
B	1011	11
C	1100	12
D	1101	13
E	1110	14
F	1111	15

Например, шестнадцатеричное число 7B – это 1111011, где 7 это 111 в двоичной системе, а B – это 1011 в двоичной.

Двоичное в шестнадцатеричное

Для преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное, преобразуйте каждые четыре двоичные цифры в шестнадцатеричные используя представленную выше таблицу.

Например, двоичное число 1110001101 это шестнадцатеричное число 38D, поскольку 1101 это D, 1000 это 8, а 11 это 3, как показано ниже.

Обратите внимание, что если остаётся менее четырёх двоичных цифр, то они дополняются нулями, чтобы получилось четыре цифры и можно было найти соответствие в таблице.

Примечание: восьмеричные цифры также полезны. Восьмеричная система счисления имеет восемь цифр от 0 до 7. Десятичное число 8 представлено в восьмеричной системе как 10.

Проверь себя:

1. Преобразуйте следующие десятичные цифры в шестнадцатеричные и двоичные числа: 100; 4340; 2000
2. Конвертируйте следующие двоичные цифры в шестнадцатеричные и двоичные числа: 1000011001; 100000000; 100111
3. Конвертируйте следующие шестнадцатеричные числа в двоичные и десятичные цифры: FEFA9; 93; 2000